Развёртки геометрических фигур для склеивания: куб, пирамида, цилиндр, конус

Что такое развёртка

Развёртка — это плоская фигура, которая получится, если поверхность объёмного тела разрезать по некоторым рёбрам (или по образующей) и разложить на плоскости без наложений. Обратный путь — согнуть развёртку по линиям сгиба — даёт саму фигуру. У многогранника развёртка состоит из его граней: у куба это шесть квадратов, у треугольной пирамиды — четыре треугольника. У тел вращения часть поверхности кривая: боковая поверхность цилиндра разворачивается в прямоугольник, а конуса — в круговой сектор.

Площадь развёртки равна площади поверхности фигуры. Поэтому развёртку используют и для поделок, и на уроке: по ней легко увидеть, из каких частей состоит площадь полной поверхности, и проверить формулу простым подсчётом площадей граней.

Развёртки в конструкторе не нарисованы от руки, а построены по размерам: каждая грань откладывается по настоящим длинам рёбер, поэтому фигура сходится без щелей. Лист печатается один к одному — один миллиметр на экране равен миллиметру на бумаге, а контрольный отрезок 50 мм внизу листа позволяет это проверить.

Формулы площади поверхности

Ниже — формулы площади полной поверхности для всех фигур конструктора. Буквами обозначены те же размеры, что и в форме: a, b, c — рёбра, h — высота, r — радиус основания. Если включить «Формулу площади», она напечатается в шапке листа вместе с ответом в квадратных сантиметрах.

• Куб с ребром a: S = 6a². Куб с ребром 5 см — 150 см².
• Прямоугольный параллелепипед с рёбрами a, b, c: S = 2(ab + bc + ac) — три пары равных противоположных граней.
• Правильная треугольная призма со стороной основания a и высотой h: S = 2 · (√3/4)a² + 3ah = (√3/2)a² + 3ah — два равносторонних треугольника и три прямоугольника a × h.
• Правильная треугольная пирамида со стороной основания a и высотой h: S = (√3/4)a² + (3/2)a·m, где m — апофема (высота боковой грани), m = √(h² + a²/12).
• Правильная четырёхугольная пирамида: S = a² + 2a·m, где m = √(h² + a²/4). Боковая поверхность — четыре равнобедренных треугольника с основанием a и высотой m.
• Правильный тетраэдр с ребром a: S = √3·a² — четыре равносторонних треугольника по (√3/4)a².
• Правильный октаэдр с ребром a: S = 2√3·a² — восемь равносторонних треугольников.
• Цилиндр с радиусом r и высотой h: S = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h). Боковая поверхность — прямоугольник со сторонами 2πr (длина окружности основания) и h.
• Конус с радиусом r и высотой h: S = πr² + πrl = πr(r + l), где l = √(r² + h²) — образующая. Боковая поверхность — сектор радиуса l с центральным углом 360° · r / l.

Пример для конуса: r = 3 см, h = 4 см. Образующая l = √(9 + 16) = 5 см, угол сектора 360° · 3/5 = 216°, площадь поверхности S = π · 3 · (3 + 5) = 24π ≈ 75,4 см².

Как склеить фигуру из развёртки

1. Напечатайте в масштабе 100 % и приложите линейку к контрольному отрезку 50 мм внизу листа. Плотная бумага 160–200 г/м² держит форму лучше офисной.
2. Продавите линии сгиба. Проведите по пунктиру тупой стороной ножниц или пустой ручкой вдоль линейки — сгибы получатся ровными, а рёбра острыми.
3. Вырежьте по сплошной линии вместе с серыми клапанами. Не разрезайте пунктир — по нему грани соединены.
4. Согните все грани и клапаны внутрь и «примерьте» фигуру без клея: так видно, к какой грани идёт каждый клапан. Совпадающие буквы вершин подсказывают, какие рёбра сходятся.
5. Клейте по одному ребру. Намажьте клапан клеем-карандашом или тонким слоем ПВА и прижмите соседнюю грань на несколько секунд. Последнюю грань (крышку) закрывайте, придерживая фигуру изнутри карандашом или пинцетом.

У цилиндра сначала склейте боковую поверхность в трубку по клапану шва, затем отогните зубчики внутрь и приклейте к ним вырезанные круги оснований. У конуса так же: сектор сворачивается в воронку по клапану, а основание приклеивается к зубчикам по дуге. Без клапанов круги оснований касаются боковой поверхности в одной точке — такая развёртка удобна для тетради, а склеивать её проще на прозрачный скотч.

Где развёртки встречаются в школьной программе

С кубом, параллелепипедом, пирамидой, цилиндром и конусом знакомятся ещё в начальной школе как с объёмными фигурами вокруг нас. В 5–6 классах в курсе математики есть наглядная геометрия: многогранники, их рёбра, грани и вершины, развёртки куба и прямоугольного параллелепипеда, площадь поверхности и объём прямоугольного параллелепипеда; там же появляются цилиндр, конус и шар. Площади поверхности призмы, пирамиды, цилиндра и конуса подробно выводят в стереометрии 10–11 классов, а задачи на развёртки и кратчайший путь по поверхности встречаются в ОГЭ и ЕГЭ. Конкретный класс и параграф зависят от учебника, по которому занимается школа.

Модель из развёртки помогает там, где ребёнку трудно «увидеть» фигуру по рисунку: какие грани противоположны, сколько у фигуры рёбер и вершин, почему у куба 12 рёбер, а у треугольной призмы 9. Для проверки формулы Эйлера (вершины − рёбра + грани = 2) удобно склеить куб, тетраэдр и октаэдр и посчитать всё руками. Если нужны ещё листы по геометрии, загляните в задачи на периметр и площадь и контрольные по математике.

Идеи для урока и дома

• Сравнить площади. Напечатайте куб и параллелепипед с одинаковым объёмом (например, 4 × 4 × 4 см и 8 × 4 × 2 см) и посчитайте, у кого поверхность больше.
• Раскрась противоположные грани. В ч/б-режиме попросите раскрасить противоположные грани куба одним цветом — до склеивания, по развёртке.
• Модель для проекта. Набор из нескольких фигур одного размера — готовая выставка многогранников и тел вращения для кабинета математики.